A engenharia e a matemática por trás do cubo mágico

  • A origem do brinquedo mais famoso da história: 

Em 1974, um professor de arquitetura húngaro chamado Ernő Rubik, resolveu construir um objeto cúbico e móvel para auxiliá-lo em suas aulas sobre movimentos internos de mecanismos dinâmicos. Porém, momentos após seu desenvolvimento, Rubik percebeu que este objeto poderia ser embaralhado de tantas maneiras diferentes, que lhe foi necessário mais de um mês para resolvê-lo pela primeira vez.

Resultado de imagem para first rubiks cube
O primeiro cubo mágico da história

Passado algum tempo, Rubik percebeu o quão divertido e desafiador era tentar resolver o cubo, e teve a brilhante ideia de transformá-lo em um brinquedo comercializável. Pouco tempo depois de ter sido patenteado com o nome de “cubo mágico” (ou magic cube em inglês) no ano de 1975, o brinquedo já estava sendo vendido em lojas por todo o mundo.

Entretanto, foi apenas nos anos 80 que esse incrível brinquedo se tornou uma febre mundial. Estima-se que entre 1980 e 1983, mais de 200 milhões de unidades foram vendidas em todo mundo, e se observarmos desde esta época até os dias de hoje esse número sobe para mais de 300 milhões, contando só as versões oficiais, ou seja, sem levar em conta todas as versões falsificadas e modelos comercializados após o vencimento da patente original.

  • A matemática por trás do cubo mágico:

O cubo mágico por si só já está ligado a matemática devido à sua forma de cubo,  um dos sólidos geométricos mais comuns nos estudos de geometria, e juntando com o fato de existirem diversos outros modelos com diversos formatos diferentes (pirâmides, octaedros, dodecaedros, e até esferas), já demonstra que ele pode ser uma ferramenta bastante interessante para estudos matemáticos. Porém veremos que diversos outros conceitos de matemática estão também ligados a esse quebra-cabeça.

Resultado de imagem para formatos de cubos magicos
Diferentes formatos de cubo mágico

Para abordar essas outras relações com a matemática começaremos com uma pergunta: Você já se perguntou quantos embaralhamentos diferentes um cubo mágico tradicional pode ter? Bom, se a resposta for não, tente pensar em um número.

A partir de conceitos de análise combinatória como permutações, combinações, e com um estudo aprofundado dos movimentos possíveis de um cubo mágico, concluímos que o número de combinações para o modelo padrão é de absurdos 43.252.003.274.489.856.000 combinações diferentes, sendo que dentre todas elas somente uma é a correta. Por motivos de curiosidade, esse valor é obtido a partir da conta: 

8!×12!×37210=43.252.003.274.489.856.000

Outro estudo envolvendo o cubo mágico e a matemática bastante interessante é algo chamado de “o número de Deus”. Este número determina, basicamente, qual é a quantidade máxima de movimentos necessários para se resolver qualquer uma das 43 quintilhões de combinações diferentes. E por meio de diversos cálculos super complexos com o auxílio de computadores super potentes, chegou-se ao resultado de que com apenas 20 movimentos, qualquer cubo mágico pode ser resolvido. Importante notar que 20 é a quantidade máxima de movimentos necessários para se resolver qualquer cubo mágico tradicional, porém muitas dessas combinações necessitam de uma quantidade até menor de movimentos para serem resolvidos.

  • A engenharia por trás do cubo mágico:

Já que foi falado da matemática por trás do cubo mágico, nada mais justo do que expor o quanto de engenharia que há por trás desse teste de sanidade mental.

Primeiramente começaremos com seu magnífico mecanismo, pois é impressionante como podemos movimentar todas as faces de um cubo mágico, mudar praticamente a posição de todas as peças, e mesmo assim ele sempre se mantém em seu formato cúbico. Tal característica só é possível devido ao seu mecanismo composto por diferentes tipos de peças que se encaixam perfeitamente para possibilitar o movimento. Vale ressaltar que embora pareça complexo, o mecanismo é até simples, e serviu de inspiração para diversos outros sistemas mecânicos ao redor do mundo.

figure9
figure12
Peças que compõem o mecanismo

Cubos mágicos também estão sendo largamente utilizados como objeto de estudos em implementações na área de robótica e no desenvolvimento de robôs em geral. Construir uma máquina capaz de resolver o cubo mágico é uma prática bastante interessante, pois envolve o estudo de diferentes ramos da robótica visto que há a necessidade de se desenvolver toda a parte de seu mecanismo, implementação e controle de motores, reconhecimento das faces do cubo, e até além. Para os mais entusiastas e que querem ir além, há a possibilidade de implementar inteligências artificiais nesses sistemas, tornando todo o estudo muito mais complexo, porém extremamente proveitoso e interessante. 

É interessante perceber o quão grandioso é o cubo mágico e a quantidade de possíveis aplicações deste. Ele não é só um brinquedo extremamente difícil de se resolver, mas também é uma grande ferramenta que proporciona estudos e aplicações bastante interessantes e que vale o seu tempo.   

Matéria por: Vinícius Teixeira