Explorando a quarta dimensão 

Vivemos imersos em três dimensões: largura, altura e profundidade. Tudo o que você já tocou, viu ou tropeçou cabe nesses três eixos. Nossa percepção da realidade é tão amarrada a eles que tentar imaginar uma quarta dimensão espacial parece um erro de compilação no cérebro. 

Essa ideia assombra matemáticos desde o século XIX, inspirou artistas como Salvador Dalí e virou combustível para metade da ficção científica que você já consumiu. A pergunta que vamos encarar aqui é simples de escrever e quase impossível de imaginar: como seria um mundo com uma dimensão a mais? 

A Planolândia de Carl Sagan 

Para entender o que não conseguimos ver, precisamos primeiro dar um passo para trás e olhar o problema com uma dimensão a menos. Na série Cosmos, Carl Sagan recorreu a uma analogia brilhante tirada do livro Flatland (Planolândia), publicado em 1884 pelo inglês Edwin A. Abbott. 

Imagine um universo inteiramente plano, como uma folha de papel. Seus habitantes são formas geométricas 2D, como quadrados e círculos, que só conhecem duas direções: frente e trás, esquerda e direita. Para eles, “para cima” e “para baixo” simplesmente não existem. 

Mas o que aconteceria se uma esfera tridimensional atravessasse esse mundo?  

Os habitantes da Planolândia não conseguiriam olhar “para cima” e ver a esfera inteira. O que eles veriam seria a passagem da esfera pela folha: 

1. Um ponto aparece do nada. 

2. O ponto vira um pequeno círculo, que cresce até atingir o diâmetro máximo. 

3. Em seguida, o círculo encolhe até desaparecer completamente. 

Na verdade, eles viram uma sequência de fatias, cada uma sendo a interseção do objeto 3D com o seu mundo 2D. Se a esfera dissesse “eu venho de cima”, o quadrado olharia para os lados procurando esse tal de “cima” e não encontraria nada. 

Para nós, que observamos de fora, em 3D, aquilo é apenas geometria. Mas agora se um objeto de quatro dimensões atravessasse o nosso espaço, veríamos apenas fatias 3D dele surgindo do nada, mudando de forma misteriosamente e sumindo.

Como enxergar a quarta dimensão? 

Se não podemos ver um objeto de quatro dimensões diretamente, existem duas maneiras de enxergá-lo.  

• Fatias:  

É o que a esfera mostrou ao quadrado: a seção transversal do objeto no ponto em que ele cruza o nosso espaço. Cada fatia é fiel, mas é só um pedaço, e muda conforme o objeto avança. 

• Sombras:  

Pense na sombra que você projeta no chão num dia de sol. Você é um ser 3D, mas a sua sombra é uma projeção bidimensional na calçada. Pela mesma lógica, um objeto de quatro dimensões projetaria uma sombra tridimensional no nosso mundo. A sombra mostra o objeto todo, mas com distorções, porque uma dimensão foi espremida. 

O tesserato 

E se os seres da quarta dimensão resolvessem nos visitar e mandassem um cubo de quatro dimensões, o tesserato? 

Pelo método das fatias, ao cruzar o nosso espaço ele poderia parecer apenas um cubo flutuando, porque essa é a fatia dele que cabe aqui. Se ele começasse a girar em 4D, a fatia mudaria de forma a cada instante, surgindo e sumindo do nada. 

Já pelo método das sombras, veríamos o famoso desenho de um cubo dentro de outro, ligados pelas arestas. Se o tesserato girasse em 4D, essa sombra passaria a se dobrar, virar do avesso e mudar de forma sem parar. Os cubos não estão se deformando: estão girando numa direção que os seus olhos não acompanham. É a mesma sensação que o quadrado da Planolândia teria ao olhar a sombra de um cubo girando. 

A violação dimensional 

Nós conseguimos tocar o interior de um círculo desenhado no papel sem romper a linha: basta chegar por cima. Para um ser de quatro dimensões, o mesmo vale para nós. As paredes da sua casa, o cofre do banco e a sua pele só fecham as coisas nas três direções que conhecemos. Um ser 4D olharia “de fora”, pela quarta direção, e veria o que tem dentro do cofre e até o seu coração batendo, sem abrir nada.  

Ele poderia ainda nos tirar do nosso espaço 3D, nos girar pela quarta dimensão e nos devolver espelhados. Você não sentiria nada de errado. O mundo é que pareceria invertido: o texto apareceria espelhado, o seu coração estaria do lado direito e você, que era destro, seria canhoto. 

A quarta dimensão na engenharia

Até aqui, “dimensão” foi uma direção do espaço. Na engenharia, a palavra tem outro significado, bem prático: o número de variáveis independentes de que você precisa para descrever um sistema. 

A verdade é que usamos dimensões superiores o tempo todo. Na engenharia, elas não são lugares mágicos. Cada dimensão é um número independente que você precisa conhecer para descrever completamente o estado de um sistema. Chamamos esses números de graus de liberdade ou variáveis de estado. E a ferramenta que organiza isso é a representação em espaço de estados: 

x.(t) = Ax(t) + Bu(t) 

y(t) = Cx(t) + Du(t) 
O vetor x guarda as variáveis de estado (o ponto sobre o x indica a derivada no tempo), u são as entradas e y são as saídas que você mede. As quatro matrizes têm papéis específicos: 

• A diz como o sistema evolui sozinho, sem ninguém mexer nele. 

• B diz como as entradas influenciam o estado. 

• C diz quais combinações do estado os seus sensores realmente medem. 

• D liga a entrada diretamente à saída (em muitos sistemas, é zero). 

Um exemplo concreto: um carro cujo estado é descrito por posição, velocidade, ângulo e velocidade angular das rodas tem quatro variáveis de estado. O vetor x tem quatro componentes, o sistema vive num espaço de quatro dimensões e a matriz A é 4 por 4. Ninguém pede para você desenhar esse espaço: a álgebra linear navega nele por você. 

A matemática lida perfeitamente com n dimensões. Não conseguimos enxergar a quarta dimensão, mas conseguimos descrevê-la, controlá-la e usá-la para construir tecnologia.

A quarta dimensão está no seu relógio

Existe uma quarta dimensão que já está confirmada, mas não é espacial: o tempo.  

Considere o trabalho de um controlador de tráfego aéreo. Para descrever a posição de uma aeronave, ele precisa de três números: latitude, longitude e altitude. Dois aviões podem passar exatamente pelo mesmo ponto do céu sem qualquer risco, desde que o façam em instantes diferentes. A colisão só acontece quando as três coordenadas espaciais coincidem no mesmo instante. Por isso, todo evento no universo é definido por quatro coordenadas: três de posição e uma de tempo. 

Foi essa a sacada que Hermann Minkowski, ex-professor de Einstein, formalizou em 1908. Ele mostrou que a relatividade especial fica muito mais simples quando deixamos de tratar espaço e tempo como coisas separadas e passamos a vê-los como um único tecido de quatro dimensões, o espaço-tempo.  

Nessa visão, cada objeto descreve uma linha de mundo no espaço-tempo, e um corpo com volume traça um tubo quadridimensional que vai do nascimento à morte. Alguns filósofos defendem que você é esse tubo inteiro, e que o “você” do presente é só uma fatia dele e Quem faz esse corte é o tempo. 

Teorias da conspiração

Voltando à esfera. Para o quadrado, o visitante que surgiu na sala dele era um círculo. O círculo era real, mas era só a parte da esfera que tocava o plano. 

Uma especulação filosófica diz que conosco acontece o mesmo. O verdadeiro “você” seria um ser de quatro dimensões espaciais, e o corpo que você vê no espelho seria só a interseção dele com o nosso espaço 3D. Conforme esse ser se move pela quarta direção, a fatia muda: você cresce, envelhece, muda de forma. O nascimento seria o momento em que a esfera toca o plano, a morte, o momento em que ela termina de atravessar. O ser 4D continuaria existindo, porém ele seria uma direção espacial escondida. 

Conclusão 

Para o quadrado, a esfera completa nunca existirá. Nós também nunca veremos um tesserato inteiro. Mas existe uma diferença enorme entre nós e o quadrado: nós inventamos a matemática. Com ela, descrevemos objetos que o espaço não deixa construir. Os nossos olhos são de três dimensões. A matemática não tem essa limitação. A engenharia é a arte de dominar o que não se vê.